Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57468 / 45182
↖ ↑ ↗
← N 48.694586°
W 22.159424°		 ← 201.60 m → N 48.694586°
W 22.156677°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.692774°
W 22.159424°		 ← 201.61 m →
40 640 m²		 N 48.692774°
W 22.156677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438449859619141 y=0.344715118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438449859619141 × 217)
    floor (0.438449859619141 × 131072)
    floor (57468.5)     		tx = 57468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344715118408203 × 217)
    floor (0.344715118408203 × 131072)
    floor (45182.5)     		ty = 45182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57468 / 45182 ti = "17/57468/45182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57468/45182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57468 ÷ 217
    57468 ÷ 131072     		x = 0.438446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45182 ÷ 217
    45182 ÷ 131072     		y = 0.344711303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.12310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38675491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344711303710938 × 2 - 1) × π
    0.310577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975707654866623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38675491} λ = -0.38675491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975707654866623))-π/2
    2×atan(2.65304398633798)-π/2
    2×1.21033859375386-π/2
    2.42067718750772-1.57079632675     		φ = 0.84988086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38675491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.159424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84988086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.694586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57468 KachelY 45182 -0.38675491 0.84988086 -22.159424 48.694586
    Oben rechts KachelX + 1 57469 KachelY 45182 -0.38670697 0.84988086 -22.156677 48.694586
    Unten links KachelX 57468 KachelY + 1 45183 -0.38675491 0.84984922 -22.159424 48.692774
    Unten rechts KachelX + 1 57469 KachelY + 1 45183 -0.38670697 0.84984922 -22.156677 48.692774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84988086-0.84984922) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84988086-0.84984922) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38675491--0.38670697) × cos(0.84988086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		do = 201.603177197788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38675491--0.38670697) × cos(0.84984922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660096416441811 × 6371000     		du = 201.61043646319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84988086)-sin(0.84984922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660072648748226-0.660096416441811)×R²
    abs(-0.38670697--0.38675491)×2.37676935843645e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37676935843645e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37676935843645e-05×40589641000000     		ar = 40639.5856176914m²