Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57468 / 45172
↖ ↑ ↗
← N 48.712712°
W 22.159424°		 ← 201.53 m → N 48.712712°
W 22.156677°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 48.710900°
W 22.159424°		 ← 201.54 m →
40 612 m²		 N 48.710900°
W 22.156677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438449859619141 y=0.344638824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438449859619141 × 217)
    floor (0.438449859619141 × 131072)
    floor (57468.5)     		tx = 57468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344638824462891 × 217)
    floor (0.344638824462891 × 131072)
    floor (45172.5)     		ty = 45172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57468 / 45172 ti = "17/57468/45172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57468/45172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57468 ÷ 217
    57468 ÷ 131072     		x = 0.438446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45172 ÷ 217
    45172 ÷ 131072     		y = 0.344635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.12310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38675491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344635009765625 × 2 - 1) × π
    0.31072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.976187023862824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38675491} λ = -0.38675491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976187023862824))-π/2
    2×atan(2.65431607824693)-π/2
    2×1.21049677445025-π/2
    2.4209935489005-1.57079632675     		φ = 0.85019722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38675491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.159424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85019722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.712712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57468 KachelY 45172 -0.38675491 0.85019722 -22.159424 48.712712
    Oben rechts KachelX + 1 57469 KachelY 45172 -0.38670697 0.85019722 -22.156677 48.712712
    Unten links KachelX 57468 KachelY + 1 45173 -0.38675491 0.85016559 -22.159424 48.710900
    Unten rechts KachelX + 1 57469 KachelY + 1 45173 -0.38670697 0.85016559 -22.156677 48.710900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85019722-0.85016559) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dl = 201.514729999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85019722-0.85016559) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dr = 201.514729999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38675491--0.38670697) × cos(0.85019722) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659834965529178 × 6371000     		do = 201.530582624725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38675491--0.38670697) × cos(0.85016559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659858732314879 × 6371000     		du = 201.537841612835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85019722)-sin(0.85016559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659834965529178-0.659858732314879)×R²
    abs(-0.38670697--0.38675491)×2.37667857002632e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37667857002632e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37667857002632e-05×40589641000000     		ar = 40612.1123442592m²