Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57467 / 84422
↖ ↑ ↗
← S 45.962606°
W 22.162170°		 ← 212.27 m → S 45.962606°
W 22.159424°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.964515°
W 22.162170°		 ← 212.26 m →
45 059 m²		 S 45.964515°
W 22.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438442230224609 y=0.644092559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438442230224609 × 217)
    floor (0.438442230224609 × 131072)
    floor (57467.5)     		tx = 57467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644092559814453 × 217)
    floor (0.644092559814453 × 131072)
    floor (84422.5)     		ty = 84422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57467 / 84422 ti = "17/57467/84422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57467/84422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57467 ÷ 217
    57467 ÷ 131072     		x = 0.438438415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84422 ÷ 217
    84422 ÷ 131072     		y = 0.644088745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438438415527344 × 2 - 1) × π
    -0.123123168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38680284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644088745117188 × 2 - 1) × π
    -0.288177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.905336286224381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38680284} λ = -0.38680284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905336286224381))-π/2
    2×atan(0.404405866111812)-π/2
    2×0.384298757716997-π/2
    0.768597515433993-1.57079632675     		φ = -0.80219881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38680284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.162170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80219881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.962606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57467 KachelY 84422 -0.38680284 -0.80219881 -22.162170 -45.962606
    Oben rechts KachelX + 1 57468 KachelY 84422 -0.38675491 -0.80219881 -22.159424 -45.962606
    Unten links KachelX 57467 KachelY + 1 84423 -0.38680284 -0.80223213 -22.162170 -45.964515
    Unten rechts KachelX + 1 57468 KachelY + 1 84423 -0.38675491 -0.80223213 -22.159424 -45.964515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80219881--0.80223213) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80219881--0.80223213) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38680284--0.38675491) × cos(-0.80219881) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.695127696665864 × 6371000     		do = 212.265604562997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38680284--0.38675491) × cos(-0.80223213) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.695103742989105 × 6371000     		du = 212.258290019636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80219881)-sin(-0.80223213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695127696665864-0.695103742989105)×R²
    abs(-0.38675491--0.38680284)×2.39536767591142e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39536767591142e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39536767591142e-05×40589641000000     		ar = 45059.3312657874m²