Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57467 / 45171
↖ ↑ ↗
← N 48.714525°
W 22.162170°		 ← 201.48 m → N 48.714525°
W 22.159424°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 48.712712°
W 22.162170°		 ← 201.49 m →
40 602 m²		 N 48.712712°
W 22.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438442230224609 y=0.344631195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438442230224609 × 217)
    floor (0.438442230224609 × 131072)
    floor (57467.5)     		tx = 57467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344631195068359 × 217)
    floor (0.344631195068359 × 131072)
    floor (45171.5)     		ty = 45171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57467 / 45171 ti = "17/57467/45171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57467/45171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57467 ÷ 217
    57467 ÷ 131072     		x = 0.438438415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45171 ÷ 217
    45171 ÷ 131072     		y = 0.344627380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438438415527344 × 2 - 1) × π
    -0.123123168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38680284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344627380371094 × 2 - 1) × π
    0.310745239257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.976234960762444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38680284} λ = -0.38680284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976234960762444))-π/2
    2×atan(2.65444332098012)-π/2
    2×1.21051258938663-π/2
    2.42102517877326-1.57079632675     		φ = 0.85022885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38680284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.162170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85022885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.714525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57467 KachelY 45171 -0.38680284 0.85022885 -22.162170 48.714525
    Oben rechts KachelX + 1 57468 KachelY 45171 -0.38675491 0.85022885 -22.159424 48.714525
    Unten links KachelX 57467 KachelY + 1 45172 -0.38680284 0.85019722 -22.162170 48.712712
    Unten rechts KachelX + 1 57468 KachelY + 1 45172 -0.38675491 0.85019722 -22.159424 48.712712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85022885-0.85019722) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85022885-0.85019722) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38680284--0.38675491) × cos(0.85022885) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.659811198083342 × 6371000     		do = 201.481286863351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38680284--0.38675491) × cos(0.85019722) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.659834965529178 × 6371000     		du = 201.48854453886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85022885)-sin(0.85019722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659811198083342-0.659834965529178)×R²
    abs(-0.38675491--0.38680284)×2.37674458368753e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37674458368753e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37674458368753e-05×40589641000000     		ar = 40602.1783899421m²