Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57466 / 45183
↖ ↑ ↗
← N 48.692774°
W 22.164917°		 ← 201.61 m → N 48.692774°
W 22.162170°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
N 48.690960°
W 22.164917°		 ← 201.62 m →
40 654 m²		 N 48.690960°
W 22.162170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438434600830078 y=0.344722747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438434600830078 × 217)
    floor (0.438434600830078 × 131072)
    floor (57466.5)     		tx = 57466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344722747802734 × 217)
    floor (0.344722747802734 × 131072)
    floor (45183.5)     		ty = 45183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57466 / 45183 ti = "17/57466/45183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57466/45183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57466 ÷ 217
    57466 ÷ 131072     		x = 0.438430786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45183 ÷ 217
    45183 ÷ 131072     		y = 0.344718933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438430786132812 × 2 - 1) × π
    -0.123138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38685078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344718933105469 × 2 - 1) × π
    0.310562133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.975659717967003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38685078} λ = -0.38685078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975659717967003))-π/2
    2×atan(2.65291681068294)-π/2
    2×1.21032277255086-π/2
    2.42064554510172-1.57079632675     		φ = 0.84984922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38685078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.164917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84984922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.692774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57466 KachelY 45183 -0.38685078 0.84984922 -22.164917 48.692774
    Oben rechts KachelX + 1 57467 KachelY 45183 -0.38680284 0.84984922 -22.162170 48.692774
    Unten links KachelX 57466 KachelY + 1 45184 -0.38685078 0.84981757 -22.164917 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 57467 KachelY + 1 45184 -0.38680284 0.84981757 -22.162170 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84984922-0.84981757) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dl = 201.642149999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84984922-0.84981757) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dr = 201.642149999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38685078--0.38680284) × cos(0.84984922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660096416441811 × 6371000     		do = 201.61043646319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38685078--0.38680284) × cos(0.84981757) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 201.617697820996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84984922)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660096416441811-0.66012019098618)×R²
    abs(-0.38680284--0.38685078)×2.37745443687487e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37745443687487e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37745443687487e-05×40589641000000     		ar = 40653.8939720355m²