Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57465 / 87129
↖ ↑ ↗
← S 50.890907°
W 22.167664°		 ← 192.66 m → S 50.890907°
W 22.164917°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.892639°
W 22.167664°		 ← 192.66 m →
37 117 m²		 S 50.892639°
W 22.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438426971435547 y=0.664745330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438426971435547 × 217)
    floor (0.438426971435547 × 131072)
    floor (57465.5)     		tx = 57465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664745330810547 × 217)
    floor (0.664745330810547 × 131072)
    floor (87129.5)     		ty = 87129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57465 / 87129 ti = "17/57465/87129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57465/87129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57465 ÷ 217
    57465 ÷ 131072     		x = 0.438423156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87129 ÷ 217
    87129 ÷ 131072     		y = 0.664741516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438423156738281 × 2 - 1) × π
    -0.123153686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38689872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664741516113281 × 2 - 1) × π
    -0.329483032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03510147349587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38689872} λ = -0.38689872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03510147349587))-π/2
    2×atan(0.355190336691051)-π/2
    2×0.341291223465337-π/2
    0.682582446930674-1.57079632675     		φ = -0.88821388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38689872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.167664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88821388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.890907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57465 KachelY 87129 -0.38689872 -0.88821388 -22.167664 -50.890907
    Oben rechts KachelX + 1 57466 KachelY 87129 -0.38685078 -0.88821388 -22.164917 -50.890907
    Unten links KachelX 57465 KachelY + 1 87130 -0.38689872 -0.88824412 -22.167664 -50.892639
    Unten rechts KachelX + 1 57466 KachelY + 1 87130 -0.38685078 -0.88824412 -22.164917 -50.892639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88821388--0.88824412) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88821388--0.88824412) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38689872--0.38685078) × cos(-0.88821388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630798965242799 × 6371000     		do = 192.66224075039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38689872--0.38685078) × cos(-0.88824412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		du = 192.655073964531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88821388)-sin(-0.88824412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630798965242799-0.630775500338174)×R²
    abs(-0.38685078--0.38689872)×2.34649046246815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34649046246815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34649046246815e-05×40589641000000     		ar = 37117.4319769728m²