Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57465 / 45181
↖ ↑ ↗
← N 48.696399°
W 22.167664°		 ← 201.60 m → N 48.696399°
W 22.164917°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.694586°
W 22.167664°		 ← 201.60 m →
40 638 m²		 N 48.694586°
W 22.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438426971435547 y=0.344707489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438426971435547 × 217)
    floor (0.438426971435547 × 131072)
    floor (57465.5)     		tx = 57465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344707489013672 × 217)
    floor (0.344707489013672 × 131072)
    floor (45181.5)     		ty = 45181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57465 / 45181 ti = "17/57465/45181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57465/45181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57465 ÷ 217
    57465 ÷ 131072     		x = 0.438423156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45181 ÷ 217
    45181 ÷ 131072     		y = 0.344703674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438423156738281 × 2 - 1) × π
    -0.123153686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38689872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344703674316406 × 2 - 1) × π
    0.310592651367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.975755591766243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38689872} λ = -0.38689872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975755591766243))-π/2
    2×atan(2.65317116808956)-π/2
    2×1.21035441438714-π/2
    2.42070882877428-1.57079632675     		φ = 0.84991250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38689872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.167664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84991250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.696399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57465 KachelY 45181 -0.38689872 0.84991250 -22.167664 48.696399
    Oben rechts KachelX + 1 57466 KachelY 45181 -0.38685078 0.84991250 -22.164917 48.696399
    Unten links KachelX 57465 KachelY + 1 45182 -0.38689872 0.84988086 -22.167664 48.694586
    Unten rechts KachelX + 1 57466 KachelY + 1 45182 -0.38685078 0.84988086 -22.164917 48.694586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84991250-0.84988086) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84991250-0.84988086) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38689872--0.38685078) × cos(0.84991250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66004888039385 × 6371000     		do = 201.595917730331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38689872--0.38685078) × cos(0.84988086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		du = 201.603177197555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84991250)-sin(0.84988086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66004888039385-0.660072648748226)×R²
    abs(-0.38685078--0.38689872)×2.37683543763412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37683543763412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37683543763412e-05×40589641000000     		ar = 40638.1222857984m²