Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57464 / 45175
↖ ↑ ↗
← N 48.707276°
W 22.170410°		 ← 201.51 m → N 48.707276°
W 22.167664°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.705463°
W 22.170410°		 ← 201.52 m →
40 621 m²		 N 48.705463°
W 22.167664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438419342041016 y=0.344661712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438419342041016 × 217)
    floor (0.438419342041016 × 131072)
    floor (57464.5)     		tx = 57464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344661712646484 × 217)
    floor (0.344661712646484 × 131072)
    floor (45175.5)     		ty = 45175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57464 / 45175 ti = "17/57464/45175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57464/45175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57464 ÷ 217
    57464 ÷ 131072     		x = 0.43841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45175 ÷ 217
    45175 ÷ 131072     		y = 0.344657897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344657897949219 × 2 - 1) × π
    0.310684204101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.976043213163963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38694665} λ = -0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976043213163963))-π/2
    2×atan(2.65393438664305)-π/2
    2×1.21044932622307-π/2
    2.42089865244614-1.57079632675     		φ = 0.85010233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85010233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.707276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57464 KachelY 45175 -0.38694665 0.85010233 -22.170410 48.707276
    Oben rechts KachelX + 1 57465 KachelY 45175 -0.38689872 0.85010233 -22.167664 48.707276
    Unten links KachelX 57464 KachelY + 1 45176 -0.38694665 0.85007069 -22.170410 48.705463
    Unten rechts KachelX + 1 57465 KachelY + 1 45176 -0.38689872 0.85007069 -22.167664 48.705463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85010233-0.85007069) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85010233-0.85007069) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38694665--0.38689872) × cos(0.85010233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659906263905775 × 6371000     		do = 201.510316356107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38694665--0.38689872) × cos(0.85007069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659930036224194 × 6371000     		du = 201.517575519517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85010233)-sin(0.85007069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659906263905775-0.659930036224194)×R²
    abs(-0.38689872--0.38694665)×2.37723184189909e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37723184189909e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37723184189909e-05×40589641000000     		ar = 40620.8668637215m²