Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57464 / 44088
↖ ↑ ↗
← N 50.639010°
W 22.170410°		 ← 193.66 m → N 50.639010°
W 22.167664°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.637269°
W 22.170410°		 ← 193.67 m →
37 509 m²		 N 50.637269°
W 22.167664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438419342041016 y=0.336368560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438419342041016 × 217)
    floor (0.438419342041016 × 131072)
    floor (57464.5)     		tx = 57464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336368560791016 × 217)
    floor (0.336368560791016 × 131072)
    floor (44088.5)     		ty = 44088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57464 / 44088 ti = "17/57464/44088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57464/44088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57464 ÷ 217
    57464 ÷ 131072     		x = 0.43841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44088 ÷ 217
    44088 ÷ 131072     		y = 0.33636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33636474609375 × 2 - 1) × π
    0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38694665} λ = -0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02815062305096))-π/2
    2×atan(2.79589039525594)-π/2
    2×1.22730689306774-π/2
    2.45461378613548-1.57079632675     		φ = 0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57464 KachelY 44088 -0.38694665 0.88381746 -22.170410 50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 57465 KachelY 44088 -0.38689872 0.88381746 -22.167664 50.639010
    Unten links KachelX 57464 KachelY + 1 44089 -0.38694665 0.88378706 -22.170410 50.637269
    Unten rechts KachelX + 1 57465 KachelY + 1 44089 -0.38689872 0.88378706 -22.167664 50.637269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88381746-0.88378706) × R
    3.0400000000097e-05 × 6371000     		dl = 193.678400000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88381746-0.88378706) × R
    3.0400000000097e-05 × 6371000     		dr = 193.678400000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38694665--0.38689872) × cos(0.88381746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 193.661895354407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38694665--0.38689872) × cos(0.88378706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634227747847605 × 6371000     		du = 193.669072565191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88381746)-sin(0.88378706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634227747847605)×R²
    abs(-0.38689872--0.38694665)×2.35039398461812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35039398461812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35039398461812e-05×40589641000000     		ar = 37508.8210714551m²