Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57463 / 9253
↖ ↑ ↗
← N 78.019874°
E135.653686°		 ← 126.80 m → N 78.019874°
E135.659180°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 78.018734°
E135.653686°		 ← 126.81 m →
16 076 m²		 N 78.018734°
E135.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876823425292969 y=0.141197204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876823425292969 × 216)
    floor (0.876823425292969 × 65536)
    floor (57463.5)     		tx = 57463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141197204589844 × 216)
    floor (0.141197204589844 × 65536)
    floor (9253.5)     		ty = 9253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57463 / 9253 ti = "16/57463/9253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57463/9253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57463 ÷ 216
    57463 ÷ 65536     		x = 0.876815795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9253 ÷ 216
    9253 ÷ 65536     		y = 0.141189575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876815795898438 × 2 - 1) × π
    0.753631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36760347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141189575195312 × 2 - 1) × π
    0.717620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25447238913124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36760347} λ = 2.36760347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25447238913124))-π/2
    2×atan(9.53026371271133)-π/2
    2×1.46625000349403-π/2
    2.93250000698807-1.57079632675     		φ = 1.36170368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36760347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.653686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36170368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.019874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57463 KachelY 9253 2.36760347 1.36170368 135.653686 78.019874
    Oben rechts KachelX + 1 57464 KachelY 9253 2.36769935 1.36170368 135.659180 78.019874
    Unten links KachelX 57463 KachelY + 1 9254 2.36760347 1.36168378 135.653686 78.018734
    Unten rechts KachelX + 1 57464 KachelY + 1 9254 2.36769935 1.36168378 135.659180 78.018734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36170368-1.36168378) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36170368-1.36168378) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36760347-2.36769935) × cos(1.36170368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207572394671249 × 6371000     		do = 126.795904491993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36760347-2.36769935) × cos(1.36168378) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207591861201359 × 6371000     		du = 126.807795650721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36170368)-sin(1.36168378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207572394671249-0.207591861201359)×R²
    abs(2.36769935-2.36760347)×1.94665301096186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94665301096186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94665301096186e-05×40589641000000     		ar = 16076.3062782311m²