Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57462 / 87031
↖ ↑ ↗
← S 50.720808°
W 22.175903°		 ← 193.36 m → S 50.720808°
W 22.173157°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
S 50.722547°
W 22.175903°		 ← 193.36 m →
37 388 m²		 S 50.722547°
W 22.173157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438404083251953 y=0.663997650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438404083251953 × 217)
    floor (0.438404083251953 × 131072)
    floor (57462.5)     		tx = 57462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663997650146484 × 217)
    floor (0.663997650146484 × 131072)
    floor (87031.5)     		ty = 87031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57462 / 87031 ti = "17/57462/87031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57462/87031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57462 ÷ 217
    57462 ÷ 131072     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87031 ÷ 217
    87031 ÷ 131072     		y = 0.663993835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663993835449219 × 2 - 1) × π
    -0.327987670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03040365733311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03040365733311))-π/2
    2×atan(0.356862881172852)-π/2
    2×0.342775613923986-π/2
    0.685551227847971-1.57079632675     		φ = -0.88524510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88524510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.720808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57462 KachelY 87031 -0.38704253 -0.88524510 -22.175903 -50.720808
    Oben rechts KachelX + 1 57463 KachelY 87031 -0.38699459 -0.88524510 -22.173157 -50.720808
    Unten links KachelX 57462 KachelY + 1 87032 -0.38704253 -0.88527545 -22.175903 -50.722547
    Unten rechts KachelX + 1 57463 KachelY + 1 87032 -0.38699459 -0.88527545 -22.173157 -50.722547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88524510--0.88527545) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88524510--0.88527545) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(-0.88524510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633099795904849 × 6371000     		do = 193.364973657961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(-0.88527545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633076302583213 × 6371000     		du = 193.357798192815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88524510)-sin(-0.88527545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633099795904849-0.633076302583213)×R²
    abs(-0.38699459--0.38704253)×2.34933216358701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34933216358701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34933216358701e-05×40589641000000     		ar = 37388.3285811431m²