Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57462 / 87004
↖ ↑ ↗
← S 50.673835°
W 22.175903°		 ← 193.56 m → S 50.673835°
W 22.173157°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 50.675576°
W 22.175903°		 ← 193.55 m →
37 463 m²		 S 50.675576°
W 22.173157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438404083251953 y=0.663791656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438404083251953 × 217)
    floor (0.438404083251953 × 131072)
    floor (57462.5)     		tx = 57462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663791656494141 × 217)
    floor (0.663791656494141 × 131072)
    floor (87004.5)     		ty = 87004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57462 / 87004 ti = "17/57462/87004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57462/87004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57462 ÷ 217
    57462 ÷ 131072     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87004 ÷ 217
    87004 ÷ 131072     		y = 0.663787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.32757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02910936104337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02910936104337))-π/2
    2×atan(0.357325066513765)-π/2
    2×0.343185528544623-π/2
    0.686371057089246-1.57079632675     		φ = -0.88442527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88442527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.673835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57462 KachelY 87004 -0.38704253 -0.88442527 -22.175903 -50.673835
    Oben rechts KachelX + 1 57463 KachelY 87004 -0.38699459 -0.88442527 -22.173157 -50.673835
    Unten links KachelX 57462 KachelY + 1 87005 -0.38704253 -0.88445565 -22.175903 -50.675576
    Unten rechts KachelX + 1 57463 KachelY + 1 87005 -0.38699459 -0.88445565 -22.173157 -50.675576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88442527--0.88445565) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88442527--0.88445565) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(-0.88442527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633734189032109 × 6371000     		do = 193.558733648305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(-0.88445565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633710688263658 × 6371000     		du = 193.55155590871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88442527)-sin(-0.88445565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633734189032109-0.633710688263658)×R²
    abs(-0.38699459--0.38704253)×2.35007684505906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35007684505906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35007684505906e-05×40589641000000     		ar = 37462.7879588699m²