Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57462 / 44090
↖ ↑ ↗
← N 50.635526°
W 22.175903°		 ← 193.72 m → N 50.635526°
W 22.173157°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.633784°
W 22.175903°		 ← 193.72 m →
37 519 m²		 N 50.633784°
W 22.173157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438404083251953 y=0.336383819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438404083251953 × 217)
    floor (0.438404083251953 × 131072)
    floor (57462.5)     		tx = 57462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336383819580078 × 217)
    floor (0.336383819580078 × 131072)
    floor (44090.5)     		ty = 44090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57462 / 44090 ti = "17/57462/44090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57462/44090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57462 ÷ 217
    57462 ÷ 131072     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44090 ÷ 217
    44090 ÷ 131072     		y = 0.336380004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336380004882812 × 2 - 1) × π
    0.327239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02805474925172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02805474925172))-π/2
    2×atan(2.79562235547069)-π/2
    2×1.22727649015574-π/2
    2.45455298031149-1.57079632675     		φ = 0.88375665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88375665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.635526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57462 KachelY 44090 -0.38704253 0.88375665 -22.175903 50.635526
    Oben rechts KachelX + 1 57463 KachelY 44090 -0.38699459 0.88375665 -22.173157 50.635526
    Unten links KachelX 57462 KachelY + 1 44091 -0.38704253 0.88372625 -22.175903 50.633784
    Unten rechts KachelX + 1 57463 KachelY + 1 44091 -0.38699459 0.88372625 -22.173157 50.633784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88375665-0.88372625) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88375665-0.88372625) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(0.88375665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		do = 193.716660105292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38699459) × cos(0.88372625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634274761699969 × 6371000     		du = 193.72383845541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88375665)-sin(0.88372625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634251258932593-0.634274761699969)×R²
    abs(-0.38699459--0.38704253)×2.35027673758381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35027673758381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35027673758381e-05×40589641000000     		ar = 37519.4279311468m²