Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57461 / 9254
↖ ↑ ↗
← N 78.018734°
E135.642700°		 ← 126.81 m → N 78.018734°
E135.648193°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 78.017593°
E135.642700°		 ← 126.82 m →
16 086 m²		 N 78.017593°
E135.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876792907714844 y=0.141212463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876792907714844 × 216)
    floor (0.876792907714844 × 65536)
    floor (57461.5)     		tx = 57461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141212463378906 × 216)
    floor (0.141212463378906 × 65536)
    floor (9254.5)     		ty = 9254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57461 / 9254 ti = "16/57461/9254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57461/9254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57461 ÷ 216
    57461 ÷ 65536     		x = 0.876785278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9254 ÷ 216
    9254 ÷ 65536     		y = 0.141204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876785278320312 × 2 - 1) × π
    0.753570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36741172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141204833984375 × 2 - 1) × π
    0.71759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.254376515332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36741172} λ = 2.36741172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.254376515332))-π/2
    2×atan(9.5293500539201)-π/2
    2×1.46624005265038-π/2
    2.93248010530076-1.57079632675     		φ = 1.36168378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36741172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.642700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36168378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.018734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57461 KachelY 9254 2.36741172 1.36168378 135.642700 78.018734
    Oben rechts KachelX + 1 57462 KachelY 9254 2.36750760 1.36168378 135.648193 78.018734
    Unten links KachelX 57461 KachelY + 1 9255 2.36741172 1.36166387 135.642700 78.017593
    Unten rechts KachelX + 1 57462 KachelY + 1 9255 2.36750760 1.36166387 135.648193 78.017593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36168378-1.36166387) × R
    1.99099999997898e-05 × 6371000     		dl = 126.846609998661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36168378-1.36166387) × R
    1.99099999997898e-05 × 6371000     		dr = 126.846609998661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36741172-2.36750760) × cos(1.36168378) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207591861201359 × 6371000     		do = 126.807795650721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36741172-2.36750760) × cos(1.36166387) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207611337431373 × 6371000     		du = 126.819692734651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36168378)-sin(1.36166387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207591861201359-0.207611337431373)×R²
    abs(2.36750760-2.36741172)×1.94762300148588e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94762300148588e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94762300148588e-05×40589641000000     		ar = 16085.8935524438m²