Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57461 / 85609
↖ ↑ ↗
← S 48.182570°
W 22.178650°		 ← 203.60 m → S 48.182570°
W 22.175903°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
S 48.184401°
W 22.178650°		 ← 203.60 m →
41 456 m²		 S 48.184401°
W 22.175903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438396453857422 y=0.653148651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438396453857422 × 217)
    floor (0.438396453857422 × 131072)
    floor (57461.5)     		tx = 57461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653148651123047 × 217)
    floor (0.653148651123047 × 131072)
    floor (85609.5)     		ty = 85609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57461 / 85609 ti = "17/57461/85609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57461/85609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57461 ÷ 217
    57461 ÷ 131072     		x = 0.438392639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85609 ÷ 217
    85609 ÷ 131072     		y = 0.653144836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438392639160156 × 2 - 1) × π
    -0.123214721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38709046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653144836425781 × 2 - 1) × π
    -0.306289672851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.962237386073387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38709046} λ = -0.38709046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962237386073387))-π/2
    2×atan(0.382037164411158)-π/2
    2×0.36492592043873-π/2
    0.729851840877459-1.57079632675     		φ = -0.84094449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38709046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.178650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84094449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.182570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57461 KachelY 85609 -0.38709046 -0.84094449 -22.178650 -48.182570
    Oben rechts KachelX + 1 57462 KachelY 85609 -0.38704253 -0.84094449 -22.175903 -48.182570
    Unten links KachelX 57461 KachelY + 1 85610 -0.38709046 -0.84097645 -22.178650 -48.184401
    Unten rechts KachelX + 1 57462 KachelY + 1 85610 -0.38704253 -0.84097645 -22.175903 -48.184401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84094449--0.84097645) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dl = 203.617159999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84094449--0.84097645) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dr = 203.617159999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38709046--0.38704253) × cos(-0.84094449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.666759220256616 × 6371000     		do = 203.602949018902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38709046--0.38704253) × cos(-0.84097645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66673540098463 × 6371000     		du = 203.595675517655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84094449)-sin(-0.84097645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666759220256616-0.66673540098463)×R²
    abs(-0.38704253--0.38709046)×2.38192719863584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38192719863584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38192719863584e-05×40589641000000     		ar = 41456.3137454432m²