Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57460 / 45180
↖ ↑ ↗
← N 48.698212°
W 22.181396°		 ← 201.59 m → N 48.698212°
W 22.178650°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.696399°
W 22.181396°		 ← 201.60 m →
40 637 m²		 N 48.696399°
W 22.178650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438388824462891 y=0.344699859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438388824462891 × 217)
    floor (0.438388824462891 × 131072)
    floor (57460.5)     		tx = 57460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344699859619141 × 217)
    floor (0.344699859619141 × 131072)
    floor (45180.5)     		ty = 45180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57460 / 45180 ti = "17/57460/45180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57460/45180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57460 ÷ 217
    57460 ÷ 131072     		x = 0.438385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45180 ÷ 217
    45180 ÷ 131072     		y = 0.344696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38713840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    0.31060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.975803528665863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38713840} λ = -0.38713840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975803528665863))-π/2
    2×atan(2.65329835593799)-π/2
    2×1.21037023445071-π/2
    2.42074046890143-1.57079632675     		φ = 0.84994414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38713840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84994414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.698212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57460 KachelY 45180 -0.38713840 0.84994414 -22.181396 48.698212
    Oben rechts KachelX + 1 57461 KachelY 45180 -0.38709046 0.84994414 -22.178650 48.698212
    Unten links KachelX 57460 KachelY + 1 45181 -0.38713840 0.84991250 -22.181396 48.696399
    Unten rechts KachelX + 1 57461 KachelY + 1 45181 -0.38709046 0.84991250 -22.178650 48.696399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84994414-0.84991250) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84994414-0.84991250) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38713840--0.38709046) × cos(0.84994414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660025111378706 × 6371000     		do = 201.588658061291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38713840--0.38709046) × cos(0.84991250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66004888039385 × 6371000     		du = 201.595917730331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84994414)-sin(0.84991250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660025111378706-0.66004888039385)×R²
    abs(-0.38709046--0.38713840)×2.3769015144337e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3769015144337e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3769015144337e-05×40589641000000     		ar = 40636.6589135539m²