Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57459 / 45251
↖ ↑ ↗
← N 48.569338°
W 22.184143°		 ← 202.10 m → N 48.569338°
W 22.181396°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 48.567520°
W 22.184143°		 ← 202.11 m →
40 844 m²		 N 48.567520°
W 22.181396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438381195068359 y=0.345241546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438381195068359 × 217)
    floor (0.438381195068359 × 131072)
    floor (57459.5)     		tx = 57459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345241546630859 × 217)
    floor (0.345241546630859 × 131072)
    floor (45251.5)     		ty = 45251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57459 / 45251 ti = "17/57459/45251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57459/45251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57459 ÷ 217
    57459 ÷ 131072     		x = 0.438377380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45251 ÷ 217
    45251 ÷ 131072     		y = 0.345237731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438377380371094 × 2 - 1) × π
    -0.123245239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38718634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345237731933594 × 2 - 1) × π
    0.309524536132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.972400008792839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38718634} λ = -0.38718634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972400008792839))-π/2
    2×atan(2.64428315266887)-π/2
    2×1.20924559393987-π/2
    2.41849118787975-1.57079632675     		φ = 0.84769486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38718634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.184143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84769486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.569338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57459 KachelY 45251 -0.38718634 0.84769486 -22.184143 48.569338
    Oben rechts KachelX + 1 57460 KachelY 45251 -0.38713840 0.84769486 -22.181396 48.569338
    Unten links KachelX 57459 KachelY + 1 45252 -0.38718634 0.84766314 -22.184143 48.567520
    Unten rechts KachelX + 1 57460 KachelY + 1 45252 -0.38713840 0.84766314 -22.181396 48.567520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84769486-0.84766314) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84769486-0.84766314) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38718634--0.38713840) × cos(0.84769486) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661713197398696 × 6371000     		do = 202.104242983364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38718634--0.38713840) × cos(0.84766314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661736979359643 × 6371000     		du = 202.111506606385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84769486)-sin(0.84766314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661713197398696-0.661736979359643)×R²
    abs(-0.38713840--0.38718634)×2.37819609471002e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37819609471002e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37819609471002e-05×40589641000000     		ar = 40843.6004579173m²