Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57457 / 85799
↖ ↑ ↗
← S 48.529338°
W 22.189636°		 ← 202.22 m → S 48.529338°
W 22.186890°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 48.531157°
W 22.189636°		 ← 202.21 m →
40 905 m²		 S 48.531157°
W 22.186890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438365936279297 y=0.654598236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438365936279297 × 217)
    floor (0.438365936279297 × 131072)
    floor (57457.5)     		tx = 57457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654598236083984 × 217)
    floor (0.654598236083984 × 131072)
    floor (85799.5)     		ty = 85799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57457 / 85799 ti = "17/57457/85799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57457/85799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57457 ÷ 217
    57457 ÷ 131072     		x = 0.438362121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85799 ÷ 217
    85799 ÷ 131072     		y = 0.654594421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438362121582031 × 2 - 1) × π
    -0.123275756835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38728221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654594421386719 × 2 - 1) × π
    -0.309188842773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.971345397001198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38728221} λ = -0.38728221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971345397001198))-π/2
    2×atan(0.378573363854712)-π/2
    2×0.361899796081006-π/2
    0.723799592162011-1.57079632675     		φ = -0.84699673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38728221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.189636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84699673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.529338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57457 KachelY 85799 -0.38728221 -0.84699673 -22.189636 -48.529338
    Oben rechts KachelX + 1 57458 KachelY 85799 -0.38723428 -0.84699673 -22.186890 -48.529338
    Unten links KachelX 57457 KachelY + 1 85800 -0.38728221 -0.84702848 -22.189636 -48.531157
    Unten rechts KachelX + 1 57458 KachelY + 1 85800 -0.38723428 -0.84702848 -22.186890 -48.531157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84699673--0.84702848) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84699673--0.84702848) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38728221--0.38723428) × cos(-0.84699673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662236463995618 × 6371000     		do = 202.221870985848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38728221--0.38723428) × cos(-0.84702848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662212673548365 × 6371000     		du = 202.21460628658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84699673)-sin(-0.84702848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662236463995618-0.662212673548365)×R²
    abs(-0.38723428--0.38728221)×2.37904472526473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37904472526473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37904472526473e-05×40589641000000     		ar = 40904.553651223m²