Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57457 / 42401
↖ ↑ ↗
← N 53.486411°
W 22.189636°		 ← 181.69 m → N 53.486411°
W 22.186890°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
N 53.484777°
W 22.189636°		 ← 181.70 m →
33 015 m²		 N 53.484777°
W 22.186890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438365936279297 y=0.323497772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438365936279297 × 217)
    floor (0.438365936279297 × 131072)
    floor (57457.5)     		tx = 57457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323497772216797 × 217)
    floor (0.323497772216797 × 131072)
    floor (42401.5)     		ty = 42401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57457 / 42401 ti = "17/57457/42401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57457/42401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57457 ÷ 217
    57457 ÷ 131072     		x = 0.438362121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42401 ÷ 217
    42401 ÷ 131072     		y = 0.323493957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438362121582031 × 2 - 1) × π
    -0.123275756835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38728221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323493957519531 × 2 - 1) × π
    0.353012084960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10902017271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38728221} λ = -0.38728221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10902017271))-π/2
    2×atan(3.03138670338291)-π/2
    2×1.25215515464391-π/2
    2.50431030928781-1.57079632675     		φ = 0.93351398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38728221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.189636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93351398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.486411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57457 KachelY 42401 -0.38728221 0.93351398 -22.189636 53.486411
    Oben rechts KachelX + 1 57458 KachelY 42401 -0.38723428 0.93351398 -22.186890 53.486411
    Unten links KachelX 57457 KachelY + 1 42402 -0.38728221 0.93348546 -22.189636 53.484777
    Unten rechts KachelX + 1 57458 KachelY + 1 42402 -0.38723428 0.93348546 -22.186890 53.484777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93351398-0.93348546) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dl = 181.700919999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93351398-0.93348546) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dr = 181.700919999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38728221--0.38723428) × cos(0.93351398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595013420604805 × 6371000     		do = 181.694505993238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38728221--0.38723428) × cos(0.93348546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		du = 181.70150541973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93351398)-sin(0.93348546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595013420604805-0.595036342336402)×R²
    abs(-0.38723428--0.38728221)×2.29217315970143e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29217315970143e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29217315970143e-05×40589641000000     		ar = 33014.6948011915m²