Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57456 / 87216
↖ ↑ ↗
← S 51.041394°
W 22.192383°		 ← 192.04 m → S 51.041394°
W 22.189636°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
S 51.043121°
W 22.192383°		 ← 192.03 m →
36 875 m²		 S 51.043121°
W 22.189636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438358306884766 y=0.665409088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438358306884766 × 217)
    floor (0.438358306884766 × 131072)
    floor (57456.5)     		tx = 57456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665409088134766 × 217)
    floor (0.665409088134766 × 131072)
    floor (87216.5)     		ty = 87216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57456 / 87216 ti = "17/57456/87216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57456/87216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57456 ÷ 217
    57456 ÷ 131072     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87216 ÷ 217
    87216 ÷ 131072     		y = 0.6654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03927198376282))-π/2
    2×atan(0.35371209639593)-π/2
    2×0.339977974241963-π/2
    0.679955948483925-1.57079632675     		φ = -0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57456 KachelY 87216 -0.38733015 -0.89084038 -22.192383 -51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 57457 KachelY 87216 -0.38728221 -0.89084038 -22.189636 -51.041394
    Unten links KachelX 57456 KachelY + 1 87217 -0.38733015 -0.89087052 -22.192383 -51.043121
    Unten rechts KachelX + 1 57457 KachelY + 1 87217 -0.38728221 -0.89087052 -22.189636 -51.043121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89084038--0.89087052) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89084038--0.89087052) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.89084038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 192.03911225367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.89087052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628735331675679 × 6371000     		du = 192.031953941064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89084038)-sin(-0.89087052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.628735331675679)×R²
    abs(-0.38728221--0.38733015)×2.34371621936624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34371621936624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34371621936624e-05×40589641000000     		ar = 36875.0356171959m²