Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57456 / 85800
↖ ↑ ↗
← S 48.531157°
W 22.192383°		 ← 202.26 m → S 48.531157°
W 22.189636°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.532976°
W 22.192383°		 ← 202.25 m →
40 899 m²		 S 48.532976°
W 22.189636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438358306884766 y=0.654605865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438358306884766 × 217)
    floor (0.438358306884766 × 131072)
    floor (57456.5)     		tx = 57456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654605865478516 × 217)
    floor (0.654605865478516 × 131072)
    floor (85800.5)     		ty = 85800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57456 / 85800 ti = "17/57456/85800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57456/85800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57456 ÷ 217
    57456 ÷ 131072     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85800 ÷ 217
    85800 ÷ 131072     		y = 0.65460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971393333900818))-π/2
    2×atan(0.378555216656334)-π/2
    2×0.361883923584705-π/2
    0.723767847169409-1.57079632675     		φ = -0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57456 KachelY 85800 -0.38733015 -0.84702848 -22.192383 -48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 57457 KachelY 85800 -0.38728221 -0.84702848 -22.189636 -48.531157
    Unten links KachelX 57456 KachelY + 1 85801 -0.38733015 -0.84706022 -22.192383 -48.532976
    Unten rechts KachelX + 1 57457 KachelY + 1 85801 -0.38728221 -0.84706022 -22.189636 -48.532976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84702848--0.84706022) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84702848--0.84706022) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.84702848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 202.256795855755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.84706022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66218888992693 × 6371000     		du = 202.249531725579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84702848)-sin(-0.84706022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.66218888992693)×R²
    abs(-0.38728221--0.38733015)×2.37836214349585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37836214349585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37836214349585e-05×40589641000000     		ar = 40898.7327360119m²