Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57456 / 84657
↖ ↑ ↗
← S 46.409458°
W 22.192383°		 ← 210.59 m → S 46.409458°
W 22.189636°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 46.411351°
W 22.192383°		 ← 210.58 m →
44 342 m²		 S 46.411351°
W 22.189636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438358306884766 y=0.645885467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438358306884766 × 217)
    floor (0.438358306884766 × 131072)
    floor (57456.5)     		tx = 57456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645885467529297 × 217)
    floor (0.645885467529297 × 131072)
    floor (84657.5)     		ty = 84657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57456 / 84657 ti = "17/57456/84657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57456/84657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57456 ÷ 217
    57456 ÷ 131072     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84657 ÷ 217
    84657 ÷ 131072     		y = 0.645881652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645881652832031 × 2 - 1) × π
    -0.291763305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.916601457635094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916601457635094))-π/2
    2×atan(0.399875729003724)-π/2
    2×0.380399242352626-π/2
    0.760798484705251-1.57079632675     		φ = -0.80999784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80999784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.409458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57456 KachelY 84657 -0.38733015 -0.80999784 -22.192383 -46.409458
    Oben rechts KachelX + 1 57457 KachelY 84657 -0.38728221 -0.80999784 -22.189636 -46.409458
    Unten links KachelX 57456 KachelY + 1 84658 -0.38733015 -0.81003089 -22.192383 -46.411351
    Unten rechts KachelX + 1 57457 KachelY + 1 84658 -0.38728221 -0.81003089 -22.189636 -46.411351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80999784--0.81003089) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80999784--0.81003089) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.80999784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689499997410435 × 6371000     		do = 210.591046938942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38728221) × cos(-0.81003089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689476059391977 × 6371000     		du = 210.583735651941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80999784)-sin(-0.81003089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689499997410435-0.689476059391977)×R²
    abs(-0.38728221--0.38733015)×2.3938018457903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3938018457903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3938018457903e-05×40589641000000     		ar = 44341.6075256151m²