Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57455 / 86895
↖ ↑ ↗
← S 50.483726°
W 22.195130°		 ← 194.34 m → S 50.483726°
W 22.192383°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
S 50.485474°
W 22.195130°		 ← 194.33 m →
37 763 m²		 S 50.485474°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438350677490234 y=0.662960052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438350677490234 × 217)
    floor (0.438350677490234 × 131072)
    floor (57455.5)     		tx = 57455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662960052490234 × 217)
    floor (0.662960052490234 × 131072)
    floor (86895.5)     		ty = 86895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57455 / 86895 ti = "17/57455/86895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57455/86895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57455 ÷ 217
    57455 ÷ 131072     		x = 0.438346862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86895 ÷ 217
    86895 ÷ 131072     		y = 0.662956237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438346862792969 × 2 - 1) × π
    -0.123306274414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38737809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662956237792969 × 2 - 1) × π
    -0.325912475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.02388423898478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38737809} λ = -0.38737809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02388423898478))-π/2
    2×atan(0.359197019934459)-π/2
    2×0.34484454528497-π/2
    0.689689090569939-1.57079632675     		φ = -0.88110724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38737809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.195130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88110724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.483726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57455 KachelY 86895 -0.38737809 -0.88110724 -22.195130 -50.483726
    Oben rechts KachelX + 1 57456 KachelY 86895 -0.38733015 -0.88110724 -22.192383 -50.483726
    Unten links KachelX 57455 KachelY + 1 86896 -0.38737809 -0.88113774 -22.195130 -50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 57456 KachelY + 1 86896 -0.38733015 -0.88113774 -22.192383 -50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88110724--0.88113774) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88110724--0.88113774) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38737809--0.38733015) × cos(-0.88110724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636297360889309 × 6371000     		do = 194.341592309762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38737809--0.38733015) × cos(-0.88113774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 194.334405845372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88110724)-sin(-0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636297360889309-0.636273831554846)×R²
    abs(-0.38733015--0.38737809)×2.35293344629239e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35293344629239e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35293344629239e-05×40589641000000     		ar = 37762.8854625946m²