Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57455 / 42394
↖ ↑ ↗
← N 53.497850°
W 22.195130°		 ← 181.68 m → N 53.497850°
W 22.192383°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
N 53.496216°
W 22.195130°		 ← 181.69 m →
33 013 m²		 N 53.496216°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438350677490234 y=0.323444366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438350677490234 × 217)
    floor (0.438350677490234 × 131072)
    floor (57455.5)     		tx = 57455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323444366455078 × 217)
    floor (0.323444366455078 × 131072)
    floor (42394.5)     		ty = 42394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57455 / 42394 ti = "17/57455/42394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57455/42394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57455 ÷ 217
    57455 ÷ 131072     		x = 0.438346862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42394 ÷ 217
    42394 ÷ 131072     		y = 0.323440551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438346862792969 × 2 - 1) × π
    -0.123306274414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38737809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323440551757812 × 2 - 1) × π
    0.353118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10935573100734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38737809} λ = -0.38737809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10935573100734))-π/2
    2×atan(3.03240408102889)-π/2
    2×1.25225497202741-π/2
    2.50450994405482-1.57079632675     		φ = 0.93371362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38737809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.195130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93371362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.497850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57455 KachelY 42394 -0.38737809 0.93371362 -22.195130 53.497850
    Oben rechts KachelX + 1 57456 KachelY 42394 -0.38733015 0.93371362 -22.192383 53.497850
    Unten links KachelX 57455 KachelY + 1 42395 -0.38737809 0.93368510 -22.195130 53.496216
    Unten rechts KachelX + 1 57456 KachelY + 1 42395 -0.38733015 0.93368510 -22.192383 53.496216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93371362-0.93368510) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dl = 181.700919999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93371362-0.93368510) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dr = 181.700919999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38737809--0.38733015) × cos(0.93371362) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59485295493328 × 6371000     		do = 181.683403951775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38737809--0.38733015) × cos(0.93368510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594875880052333 × 6371000     		du = 181.690405873226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93371362)-sin(0.93368510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59485295493328-0.594875880052333)×R²
    abs(-0.38733015--0.38737809)×2.29251190528856e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29251190528856e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29251190528856e-05×40589641000000     		ar = 33012.6777768692m²