Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57454 / 87118
↖ ↑ ↗
← S 50.871845°
W 22.197876°		 ← 192.70 m → S 50.871845°
W 22.195130°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.873578°
W 22.197876°		 ← 192.69 m →
37 137 m²		 S 50.873578°
W 22.195130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438343048095703 y=0.664661407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438343048095703 × 217)
    floor (0.438343048095703 × 131072)
    floor (57454.5)     		tx = 57454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664661407470703 × 217)
    floor (0.664661407470703 × 131072)
    floor (87118.5)     		ty = 87118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57454 / 87118 ti = "17/57454/87118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57454/87118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57454 ÷ 217
    57454 ÷ 131072     		x = 0.438339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87118 ÷ 217
    87118 ÷ 131072     		y = 0.664657592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    -0.123321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38742602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664657592773438 × 2 - 1) × π
    -0.329315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03457416760005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38742602} λ = -0.38742602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03457416760005))-π/2
    2×atan(0.355377680039012)-π/2
    2×0.341457569497861-π/2
    0.682915138995722-1.57079632675     		φ = -0.88788119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38742602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.197876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88788119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.871845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57454 KachelY 87118 -0.38742602 -0.88788119 -22.197876 -50.871845
    Oben rechts KachelX + 1 57455 KachelY 87118 -0.38737809 -0.88788119 -22.195130 -50.871845
    Unten links KachelX 57454 KachelY + 1 87119 -0.38742602 -0.88791144 -22.197876 -50.873578
    Unten rechts KachelX + 1 57455 KachelY + 1 87119 -0.38737809 -0.88791144 -22.195130 -50.873578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88788119--0.88791144) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88788119--0.88791144) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38742602--0.38737809) × cos(-0.88788119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		do = 192.700870965375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38742602--0.38737809) × cos(-0.88791144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631033613589585 × 6371000     		du = 192.693705243846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88788119)-sin(-0.88791144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631057079904402-0.631033613589585)×R²
    abs(-0.38737809--0.38742602)×2.34663148173109e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34663148173109e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34663148173109e-05×40589641000000     		ar = 37137.1512838598m²