Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57454 / 85008
↖ ↑ ↗
← S 47.070122°
W 22.197876°		 ← 207.98 m → S 47.070122°
W 22.195130°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 47.071992°
W 22.197876°		 ← 207.98 m →
43 249 m²		 S 47.071992°
W 22.195130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438343048095703 y=0.648563385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438343048095703 × 217)
    floor (0.438343048095703 × 131072)
    floor (57454.5)     		tx = 57454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648563385009766 × 217)
    floor (0.648563385009766 × 131072)
    floor (85008.5)     		ty = 85008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57454 / 85008 ti = "17/57454/85008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57454/85008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57454 ÷ 217
    57454 ÷ 131072     		x = 0.438339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85008 ÷ 217
    85008 ÷ 131072     		y = 0.6485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    -0.123321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38742602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38742602} λ = -0.38742602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933427309401733))-π/2
    2×atan(0.393203767388115)-π/2
    2×0.374633860836171-π/2
    0.749267721672342-1.57079632675     		φ = -0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38742602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.197876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57454 KachelY 85008 -0.38742602 -0.82152861 -22.197876 -47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 57455 KachelY 85008 -0.38737809 -0.82152861 -22.195130 -47.070122
    Unten links KachelX 57454 KachelY + 1 85009 -0.38742602 -0.82156125 -22.197876 -47.071992
    Unten rechts KachelX + 1 57455 KachelY + 1 85009 -0.38737809 -0.82156125 -22.195130 -47.071992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82152861--0.82156125) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dl = 207.94944000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82152861--0.82156125) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dr = 207.94944000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38742602--0.38737809) × cos(-0.82152861) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 207.982925658499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38742602--0.38737809) × cos(-0.82156125) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681078874867227 × 6371000     		du = 207.975627819459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82152861)-sin(-0.82156125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.681078874867227)×R²
    abs(-0.38737809--0.38742602)×2.38989734254735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38989734254735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38989734254735e-05×40589641000000     		ar = 43249.1741333731m²