Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57453 / 45249
↖ ↑ ↗
← N 48.572973°
W 22.200623°		 ← 202.09 m → N 48.572973°
W 22.197876°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 48.571155°
W 22.200623°		 ← 202.10 m →
40 841 m²		 N 48.571155°
W 22.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438335418701172 y=0.345226287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438335418701172 × 217)
    floor (0.438335418701172 × 131072)
    floor (57453.5)     		tx = 57453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345226287841797 × 217)
    floor (0.345226287841797 × 131072)
    floor (45249.5)     		ty = 45249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57453 / 45249 ti = "17/57453/45249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57453/45249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57453 ÷ 217
    57453 ÷ 131072     		x = 0.438331604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45249 ÷ 217
    45249 ÷ 131072     		y = 0.345222473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438331604003906 × 2 - 1) × π
    -0.123336791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38747396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345222473144531 × 2 - 1) × π
    0.309555053710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.972495882592079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38747396} λ = -0.38747396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972495882592079))-π/2
    2×atan(2.64453668229422)-π/2
    2×1.2092773132789-π/2
    2.41855462655779-1.57079632675     		φ = 0.84775830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38747396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.200623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84775830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.572973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57453 KachelY 45249 -0.38747396 0.84775830 -22.200623 48.572973
    Oben rechts KachelX + 1 57454 KachelY 45249 -0.38742602 0.84775830 -22.197876 48.572973
    Unten links KachelX 57453 KachelY + 1 45250 -0.38747396 0.84772658 -22.200623 48.571155
    Unten rechts KachelX + 1 57454 KachelY + 1 45250 -0.38742602 0.84772658 -22.197876 48.571155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84775830-0.84772658) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84775830-0.84772658) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38747396--0.38742602) × cos(0.84775830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661665631479461 × 6371000     		do = 202.089715127283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38747396--0.38742602) × cos(0.84772658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661689414771961 × 6371000     		du = 202.096979156994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84775830)-sin(0.84772658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661665631479461-0.661689414771961)×R²
    abs(-0.38742602--0.38747396)×2.37832924996351e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37832924996351e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37832924996351e-05×40589641000000     		ar = 40840.6645917963m²