Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57451 / 87051
↖ ↑ ↗
← S 50.755572°
W 22.206116°		 ← 193.18 m → S 50.755572°
W 22.203369°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
S 50.757310°
W 22.206116°		 ← 193.17 m →
37 328 m²		 S 50.757310°
W 22.203369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438320159912109 y=0.664150238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438320159912109 × 217)
    floor (0.438320159912109 × 131072)
    floor (57451.5)     		tx = 57451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664150238037109 × 217)
    floor (0.664150238037109 × 131072)
    floor (87051.5)     		ty = 87051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57451 / 87051 ti = "17/57451/87051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57451/87051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57451 ÷ 217
    57451 ÷ 131072     		x = 0.438316345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87051 ÷ 217
    87051 ÷ 131072     		y = 0.664146423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438316345214844 × 2 - 1) × π
    -0.123367309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38756983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664146423339844 × 2 - 1) × π
    -0.328292846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03136239532551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38756983} λ = -0.38756983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03136239532551))-π/2
    2×atan(0.356520907128543)-π/2
    2×0.342472238114705-π/2
    0.684944476229411-1.57079632675     		φ = -0.88585185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38756983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.206116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88585185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.755572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57451 KachelY 87051 -0.38756983 -0.88585185 -22.206116 -50.755572
    Oben rechts KachelX + 1 57452 KachelY 87051 -0.38752190 -0.88585185 -22.203369 -50.755572
    Unten links KachelX 57451 KachelY + 1 87052 -0.38756983 -0.88588218 -22.206116 -50.757310
    Unten rechts KachelX + 1 57452 KachelY + 1 87052 -0.38752190 -0.88588218 -22.203369 -50.757310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88585185--0.88588218) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88585185--0.88588218) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38756983--0.38752190) × cos(-0.88585185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63263001231361 × 6371000     		do = 193.181184799127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38756983--0.38752190) × cos(-0.88588218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		du = 193.174012001976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88585185)-sin(-0.88588218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63263001231361-0.632606522827538)×R²
    abs(-0.38752190--0.38756983)×2.34894860726698e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34894860726698e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34894860726698e-05×40589641000000     		ar = 37328.176763522m²