Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57451 / 84133
↖ ↑ ↗
← S 45.408092°
W 22.206116°		 ← 214.38 m → S 45.408092°
W 22.203369°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.410020°
W 22.206116°		 ← 214.37 m →
45 973 m²		 S 45.410020°
W 22.203369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438320159912109 y=0.641887664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438320159912109 × 217)
    floor (0.438320159912109 × 131072)
    floor (57451.5)     		tx = 57451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641887664794922 × 217)
    floor (0.641887664794922 × 131072)
    floor (84133.5)     		ty = 84133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57451 / 84133 ti = "17/57451/84133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57451/84133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57451 ÷ 217
    57451 ÷ 131072     		x = 0.438316345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84133 ÷ 217
    84133 ÷ 131072     		y = 0.641883850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438316345214844 × 2 - 1) × π
    -0.123367309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38756983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641883850097656 × 2 - 1) × π
    -0.283767700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.891482522234184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38756983} λ = -0.38756983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891482522234184))-π/2
    2×atan(0.41004739752979)-π/2
    2×0.389137806983069-π/2
    0.778275613966139-1.57079632675     		φ = -0.79252071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38756983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.206116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79252071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.408092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57451 KachelY 84133 -0.38756983 -0.79252071 -22.206116 -45.408092
    Oben rechts KachelX + 1 57452 KachelY 84133 -0.38752190 -0.79252071 -22.203369 -45.408092
    Unten links KachelX 57451 KachelY + 1 84134 -0.38756983 -0.79255437 -22.206116 -45.410020
    Unten rechts KachelX + 1 57452 KachelY + 1 84134 -0.38752190 -0.79255437 -22.203369 -45.410020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79252071--0.79255437) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dl = 214.447859999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79252071--0.79255437) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dr = 214.447859999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38756983--0.38752190) × cos(-0.79252071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702052486843193 × 6371000     		do = 214.380172549117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38756983--0.38752190) × cos(-0.79255437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702028516311131 × 6371000     		du = 214.372852858786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79252071)-sin(-0.79255437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702052486843193-0.702028516311131)×R²
    abs(-0.38752190--0.38756983)×2.39705320626005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39705320626005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39705320626005e-05×40589641000000     		ar = 45972.5843878491m²