Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57449 / 85615
↖ ↑ ↗
← S 48.193557°
W 22.211609°		 ← 203.60 m → S 48.193557°
W 22.208862°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
S 48.195387°
W 22.211609°		 ← 203.59 m →
41 443 m²		 S 48.195387°
W 22.208862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438304901123047 y=0.653194427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438304901123047 × 217)
    floor (0.438304901123047 × 131072)
    floor (57449.5)     		tx = 57449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653194427490234 × 217)
    floor (0.653194427490234 × 131072)
    floor (85615.5)     		ty = 85615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57449 / 85615 ti = "17/57449/85615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57449/85615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57449 ÷ 217
    57449 ÷ 131072     		x = 0.438301086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85615 ÷ 217
    85615 ÷ 131072     		y = 0.653190612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438301086425781 × 2 - 1) × π
    -0.123397827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38766571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653190612792969 × 2 - 1) × π
    -0.306381225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.962525007471107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38766571} λ = -0.38766571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962525007471107))-π/2
    2×atan(0.381927298148651)-π/2
    2×0.364830043605722-π/2
    0.729660087211445-1.57079632675     		φ = -0.84113624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38766571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.211609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84113624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.193557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57449 KachelY 85615 -0.38766571 -0.84113624 -22.211609 -48.193557
    Oben rechts KachelX + 1 57450 KachelY 85615 -0.38761777 -0.84113624 -22.208862 -48.193557
    Unten links KachelX 57449 KachelY + 1 85616 -0.38766571 -0.84116819 -22.211609 -48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 57450 KachelY + 1 85616 -0.38761777 -0.84116819 -22.208862 -48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84113624--0.84116819) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84113624--0.84116819) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38766571--0.38761777) × cos(-0.84113624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666616301863726 × 6371000     		do = 203.601777292894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38766571--0.38761777) × cos(-0.84116819) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 203.594503302983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84113624)-sin(-0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666616301863726-0.666592485960353)×R²
    abs(-0.38761777--0.38766571)×2.38159033727481e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38159033727481e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38159033727481e-05×40589641000000     		ar = 41443.1038747619m²