Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57449 / 84136
↖ ↑ ↗
← S 45.413876°
W 22.211609°		 ← 214.40 m → S 45.413876°
W 22.208862°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
S 45.415804°
W 22.211609°		 ← 214.40 m →
45 964 m²		 S 45.415804°
W 22.208862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438304901123047 y=0.641910552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438304901123047 × 217)
    floor (0.438304901123047 × 131072)
    floor (57449.5)     		tx = 57449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641910552978516 × 217)
    floor (0.641910552978516 × 131072)
    floor (84136.5)     		ty = 84136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57449 / 84136 ti = "17/57449/84136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57449/84136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57449 ÷ 217
    57449 ÷ 131072     		x = 0.438301086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84136 ÷ 217
    84136 ÷ 131072     		y = 0.64190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438301086425781 × 2 - 1) × π
    -0.123397827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38766571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38766571} λ = -0.38766571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891626332933044))-π/2
    2×atan(0.409988432566984)-π/2
    2×0.389087328238754-π/2
    0.778174656477509-1.57079632675     		φ = -0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38766571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.211609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57449 KachelY 84136 -0.38766571 -0.79262167 -22.211609 -45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 57450 KachelY 84136 -0.38761777 -0.79262167 -22.208862 -45.413876
    Unten links KachelX 57449 KachelY + 1 84137 -0.38766571 -0.79265532 -22.211609 -45.415804
    Unten rechts KachelX + 1 57450 KachelY + 1 84137 -0.38761777 -0.79265532 -22.208862 -45.415804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79262167--0.79265532) × R
    3.36500000001072e-05 × 6371000     		dl = 214.384150000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79262167--0.79265532) × R
    3.36500000001072e-05 × 6371000     		dr = 214.384150000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38766571--0.38761777) × cos(-0.79262167) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 214.402940282216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38766571--0.38761777) × cos(-0.79265532) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701956621309272 × 6371000     		du = 214.395620511392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79262167)-sin(-0.79265532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.701956621309272)×R²
    abs(-0.38761777--0.38766571)×2.39657954971273e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39657954971273e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39657954971273e-05×40589641000000     		ar = 45963.8074928922m²