Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57448 / 9246
↖ ↑ ↗
← N 78.027853°
E135.571289°		 ← 126.70 m → N 78.027853°
E135.576782°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
N 78.026713°
E135.571289°		 ← 126.71 m →
16 056 m²		 N 78.026713°
E135.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876594543457031 y=0.141090393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876594543457031 × 216)
    floor (0.876594543457031 × 65536)
    floor (57448.5)     		tx = 57448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141090393066406 × 216)
    floor (0.141090393066406 × 65536)
    floor (9246.5)     		ty = 9246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57448 / 9246 ti = "16/57448/9246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57448/9246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57448 ÷ 216
    57448 ÷ 65536     		x = 0.8765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9246 ÷ 216
    9246 ÷ 65536     		y = 0.141082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8765869140625 × 2 - 1) × π
    0.753173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36616537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141082763671875 × 2 - 1) × π
    0.71783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25514350572592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36616537} λ = 2.36616537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25514350572592))-π/2
    2×atan(9.53666177752421)-π/2
    2×1.46631963327462-π/2
    2.93263926654924-1.57079632675     		φ = 1.36184294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36616537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36184294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.027853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57448 KachelY 9246 2.36616537 1.36184294 135.571289 78.027853
    Oben rechts KachelX + 1 57449 KachelY 9246 2.36626124 1.36184294 135.576782 78.027853
    Unten links KachelX 57448 KachelY + 1 9247 2.36616537 1.36182305 135.571289 78.026713
    Unten rechts KachelX + 1 57449 KachelY + 1 9247 2.36626124 1.36182305 135.576782 78.026713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36184294-1.36182305) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dl = 126.71919000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36184294-1.36182305) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dr = 126.71919000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36616537-2.36626124) × cos(1.36184294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207436165789235 × 6371000     		do = 126.699473119754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36616537-2.36626124) × cos(1.36182305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207455623111979 × 6371000     		du = 126.711357414523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36184294)-sin(1.36182305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207436165789235-0.207455623111979)×R²
    abs(2.36626124-2.36616537)×1.94573227435824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94573227435824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94573227435824e-05×40589641000000     		ar = 16056.0075915924m²