Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57448 / 87021
↖ ↑ ↗
← S 50.703416°
W 22.214355°		 ← 193.40 m → S 50.703416°
W 22.211609°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.705155°
W 22.214355°		 ← 193.39 m →
37 407 m²		 S 50.705155°
W 22.211609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438297271728516 y=0.663921356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438297271728516 × 217)
    floor (0.438297271728516 × 131072)
    floor (57448.5)     		tx = 57448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663921356201172 × 217)
    floor (0.663921356201172 × 131072)
    floor (87021.5)     		ty = 87021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57448 / 87021 ti = "17/57448/87021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57448/87021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57448 ÷ 217
    57448 ÷ 131072     		x = 0.43829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87021 ÷ 217
    87021 ÷ 131072     		y = 0.663917541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38771364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663917541503906 × 2 - 1) × π
    -0.327835083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.02992428833691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38771364} λ = -0.38771364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02992428833691))-π/2
    2×atan(0.357033991183122)-π/2
    2×0.342927386285663-π/2
    0.685854772571326-1.57079632675     		φ = -0.88494155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38771364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88494155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.703416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57448 KachelY 87021 -0.38771364 -0.88494155 -22.214355 -50.703416
    Oben rechts KachelX + 1 57449 KachelY 87021 -0.38766571 -0.88494155 -22.211609 -50.703416
    Unten links KachelX 57448 KachelY + 1 87022 -0.38771364 -0.88497191 -22.214355 -50.705155
    Unten rechts KachelX + 1 57449 KachelY + 1 87022 -0.38766571 -0.88497191 -22.211609 -50.705155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88494155--0.88497191) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88494155--0.88497191) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38771364--0.38766571) × cos(-0.88494155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633334735737601 × 6371000     		do = 193.396380574466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38771364--0.38766571) × cos(-0.88497191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		du = 193.389206024239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88494155)-sin(-0.88497191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633334735737601-0.633311240510553)×R²
    abs(-0.38766571--0.38771364)×2.34952270483646e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34952270483646e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34952270483646e-05×40589641000000     		ar = 37406.7225611048m²