Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57447 / 9243
↖ ↑ ↗
← N 78.031271°
E135.565796°		 ← 126.68 m → N 78.031271°
E135.571289°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 78.030131°
E135.565796°		 ← 126.69 m →
16 045 m²		 N 78.030131°
E135.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876579284667969 y=0.141044616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876579284667969 × 216)
    floor (0.876579284667969 × 65536)
    floor (57447.5)     		tx = 57447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141044616699219 × 216)
    floor (0.141044616699219 × 65536)
    floor (9243.5)     		ty = 9243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57447 / 9243 ti = "16/57447/9243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57447/9243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57447 ÷ 216
    57447 ÷ 65536     		x = 0.876571655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9243 ÷ 216
    9243 ÷ 65536     		y = 0.141036987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876571655273438 × 2 - 1) × π
    0.753143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36606949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141036987304688 × 2 - 1) × π
    0.717926025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25543112712364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36606949} λ = 2.36606949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25543112712364))-π/2
    2×atan(9.53940512001734)-π/2
    2×1.46634946061822-π/2
    2.93269892123644-1.57079632675     		φ = 1.36190259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36606949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.565796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36190259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.031271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57447 KachelY 9243 2.36606949 1.36190259 135.565796 78.031271
    Oben rechts KachelX + 1 57448 KachelY 9243 2.36616537 1.36190259 135.571289 78.031271
    Unten links KachelX 57447 KachelY + 1 9244 2.36606949 1.36188271 135.565796 78.030131
    Unten rechts KachelX + 1 57448 KachelY + 1 9244 2.36616537 1.36188271 135.571289 78.030131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36190259-1.36188271) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36190259-1.36188271) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36606949-2.36616537) × cos(1.36190259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207377812893869 × 6371000     		do = 126.6770439253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36606949-2.36616537) × cos(1.36188271) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207397260680131 × 6371000     		du = 126.688923634321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36190259)-sin(1.36188271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207377812893869-0.207397260680131)×R²
    abs(2.36616537-2.36606949)×1.94477862625886e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94477862625886e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94477862625886e-05×40589641000000     		ar = 16045.0941189852m²