Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57447 / 87019
↖ ↑ ↗
← S 50.699937°
W 22.217102°		 ← 193.45 m → S 50.699937°
W 22.214355°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.701676°
W 22.217102°		 ← 193.44 m →
37 417 m²		 S 50.701676°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438289642333984 y=0.663906097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438289642333984 × 217)
    floor (0.438289642333984 × 131072)
    floor (57447.5)     		tx = 57447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663906097412109 × 217)
    floor (0.663906097412109 × 131072)
    floor (87019.5)     		ty = 87019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57447 / 87019 ti = "17/57447/87019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57447/87019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57447 ÷ 217
    57447 ÷ 131072     		x = 0.438285827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87019 ÷ 217
    87019 ÷ 131072     		y = 0.663902282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438285827636719 × 2 - 1) × π
    -0.123428344726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38776158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663902282714844 × 2 - 1) × π
    -0.327804565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.02982841453767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38776158} λ = -0.38776158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02982841453767))-π/2
    2×atan(0.357068223029256)-π/2
    2×0.342957747515446-π/2
    0.685915495030893-1.57079632675     		φ = -0.88488083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38776158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.217102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88488083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.699937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57447 KachelY 87019 -0.38776158 -0.88488083 -22.217102 -50.699937
    Oben rechts KachelX + 1 57448 KachelY 87019 -0.38771364 -0.88488083 -22.214355 -50.699937
    Unten links KachelX 57447 KachelY + 1 87020 -0.38776158 -0.88491119 -22.217102 -50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 57448 KachelY + 1 87020 -0.38771364 -0.88491119 -22.214355 -50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88488083--0.88491119) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88488083--0.88491119) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38776158--0.38771364) × cos(-0.88488083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633381724440386 × 6371000     		do = 193.451081889554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38776158--0.38771364) × cos(-0.88491119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 193.443906199046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88488083)-sin(-0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633381724440386-0.633358230380886)×R²
    abs(-0.38771364--0.38776158)×2.34940595000843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34940595000843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34940595000843e-05×40589641000000     		ar = 37417.3029739109m²