Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57447 / 18303
↖ ↑ ↗
← N 78.135058°
W 22.217102°		 ← 62.80 m → N 78.135058°
W 22.214355°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.134493°
W 22.217102°		 ← 62.80 m →
3 941 m²		 N 78.134493°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438289642333984 y=0.139644622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438289642333984 × 217)
    floor (0.438289642333984 × 131072)
    floor (57447.5)     		tx = 57447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139644622802734 × 217)
    floor (0.139644622802734 × 131072)
    floor (18303.5)     		ty = 18303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57447 / 18303 ti = "17/57447/18303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57447/18303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57447 ÷ 217
    57447 ÷ 131072     		x = 0.438285827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18303 ÷ 217
    18303 ÷ 131072     		y = 0.139640808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438285827636719 × 2 - 1) × π
    -0.123428344726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38776158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139640808105469 × 2 - 1) × π
    0.720718383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26420357975411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38776158} λ = -0.38776158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26420357975411))-π/2
    2×atan(9.62345723211652)-π/2
    2×1.46725517425927-π/2
    2.93451034851853-1.57079632675     		φ = 1.36371402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38776158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.217102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36371402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.135058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57447 KachelY 18303 -0.38776158 1.36371402 -22.217102 78.135058
    Oben rechts KachelX + 1 57448 KachelY 18303 -0.38771364 1.36371402 -22.214355 78.135058
    Unten links KachelX 57447 KachelY + 1 18304 -0.38776158 1.36370417 -22.217102 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 57448 KachelY + 1 18304 -0.38771364 1.36370417 -22.214355 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36371402-1.36370417) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36371402-1.36370417) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38776158--0.38771364) × cos(1.36371402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205605422438552 × 6371000     		do = 62.7971882962661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38776158--0.38771364) × cos(1.36370417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 62.800132461281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36371402)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205605422438552-0.205615061983061)×R²
    abs(-0.38771364--0.38776158)×9.63954450902693e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63954450902693e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63954450902693e-06×40589641000000     		ar = 3940.88911293601m²