Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57446 / 85614
↖ ↑ ↗
← S 48.191725°
W 22.219849°		 ← 203.61 m → S 48.191725°
W 22.217102°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
S 48.193557°
W 22.219849°		 ← 203.60 m →
41 458 m²		 S 48.193557°
W 22.217102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438282012939453 y=0.653186798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438282012939453 × 217)
    floor (0.438282012939453 × 131072)
    floor (57446.5)     		tx = 57446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653186798095703 × 217)
    floor (0.653186798095703 × 131072)
    floor (85614.5)     		ty = 85614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57446 / 85614 ti = "17/57446/85614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57446/85614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57446 ÷ 217
    57446 ÷ 131072     		x = 0.438278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85614 ÷ 217
    85614 ÷ 131072     		y = 0.653182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438278198242188 × 2 - 1) × π
    -0.123443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38780952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.306365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.962477070571487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38780952} λ = -0.38780952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962477070571487))-π/2
    2×atan(0.381945606998035)-π/2
    2×0.364846021650565-π/2
    0.729692043301129-1.57079632675     		φ = -0.84110428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38780952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.219849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84110428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.191725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57446 KachelY 85614 -0.38780952 -0.84110428 -22.219849 -48.191725
    Oben rechts KachelX + 1 57447 KachelY 85614 -0.38776158 -0.84110428 -22.217102 -48.191725
    Unten links KachelX 57446 KachelY + 1 85615 -0.38780952 -0.84113624 -22.219849 -48.193557
    Unten rechts KachelX + 1 57447 KachelY + 1 85615 -0.38776158 -0.84113624 -22.217102 -48.193557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84110428--0.84113624) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dl = 203.617159999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84110428--0.84113624) × R
    3.1959999999942e-05 × 6371000     		dr = 203.617159999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38780952--0.38776158) × cos(-0.84110428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666640124540412 × 6371000     		do = 203.60905335155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38780952--0.38776158) × cos(-0.84113624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666616301863726 × 6371000     		du = 203.601777292894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84110428)-sin(-0.84113624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666640124540412-0.666616301863726)×R²
    abs(-0.38776158--0.38780952)×2.38226766863248e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38226766863248e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38226766863248e-05×40589641000000     		ar = 41457.5564318215m²