Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57445 / 9251
↖ ↑ ↗
← N 78.022154°
E135.554809°		 ← 126.77 m → N 78.022154°
E135.560303°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 78.021014°
E135.554809°		 ← 126.78 m →
16 073 m²		 N 78.021014°
E135.560303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876548767089844 y=0.141166687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876548767089844 × 216)
    floor (0.876548767089844 × 65536)
    floor (57445.5)     		tx = 57445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141166687011719 × 216)
    floor (0.141166687011719 × 65536)
    floor (9251.5)     		ty = 9251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57445 / 9251 ti = "16/57445/9251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57445/9251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57445 ÷ 216
    57445 ÷ 65536     		x = 0.876541137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9251 ÷ 216
    9251 ÷ 65536     		y = 0.141159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876541137695312 × 2 - 1) × π
    0.753082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36587774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141159057617188 × 2 - 1) × π
    0.717681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25466413672972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36587774} λ = 2.36587774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25466413672972))-π/2
    2×atan(9.5320912931026)-π/2
    2×1.46626990238182-π/2
    2.93253980476363-1.57079632675     		φ = 1.36174348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36587774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.554809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36174348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.022154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57445 KachelY 9251 2.36587774 1.36174348 135.554809 78.022154
    Oben rechts KachelX + 1 57446 KachelY 9251 2.36597362 1.36174348 135.560303 78.022154
    Unten links KachelX 57445 KachelY + 1 9252 2.36587774 1.36172358 135.554809 78.021014
    Unten rechts KachelX + 1 57446 KachelY + 1 9252 2.36597362 1.36172358 135.560303 78.021014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36174348-1.36172358) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dl = 126.782899999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36174348-1.36172358) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dr = 126.782899999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36587774-2.36597362) × cos(1.36174348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207533461364435 × 6371000     		do = 126.772122023905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36587774-2.36597362) × cos(1.36172358) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207552928058939 × 6371000     		du = 126.784013283053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36174348)-sin(1.36172358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207533461364435-0.207552928058939)×R²
    abs(2.36597362-2.36587774)×1.9466694503173e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9466694503173e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9466694503173e-05×40589641000000     		ar = 16073.2910735907m²