Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57443 / 87077
↖ ↑ ↗
← S 50.800727°
W 22.228088°		 ← 193.04 m → S 50.800727°
W 22.225342°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 50.802463°
W 22.228088°		 ← 193.03 m →
37 263 m²		 S 50.802463°
W 22.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438259124755859 y=0.664348602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438259124755859 × 217)
    floor (0.438259124755859 × 131072)
    floor (57443.5)     		tx = 57443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664348602294922 × 217)
    floor (0.664348602294922 × 131072)
    floor (87077.5)     		ty = 87077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57443 / 87077 ti = "17/57443/87077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57443/87077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57443 ÷ 217
    57443 ÷ 131072     		x = 0.438255310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87077 ÷ 217
    87077 ÷ 131072     		y = 0.664344787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438255310058594 × 2 - 1) × π
    -0.123489379882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38795333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664344787597656 × 2 - 1) × π
    -0.328689575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03260875471563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38795333} λ = -0.38795333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03260875471563))-π/2
    2×atan(0.35607683074504)-π/2
    2×0.342078186187198-π/2
    0.684156372374395-1.57079632675     		φ = -0.88663995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38795333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.228088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88663995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.800727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57443 KachelY 87077 -0.38795333 -0.88663995 -22.228088 -50.800727
    Oben rechts KachelX + 1 57444 KachelY 87077 -0.38790539 -0.88663995 -22.225342 -50.800727
    Unten links KachelX 57443 KachelY + 1 87078 -0.38795333 -0.88667025 -22.228088 -50.802463
    Unten rechts KachelX + 1 57444 KachelY + 1 87078 -0.38790539 -0.88667025 -22.225342 -50.802463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88663995--0.88667025) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88663995--0.88667025) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38795333--0.38790539) × cos(-0.88663995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632019468578567 × 6371000     		do = 193.035013884889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38795333--0.38790539) × cos(-0.88667025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63199598722742 × 6371000     		du = 193.027842075839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88663995)-sin(-0.88667025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632019468578567-0.63199598722742)×R²
    abs(-0.38790539--0.38795333)×2.34813511471588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34813511471588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34813511471588e-05×40589641000000     		ar = 37263.0378011068m²