Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57442 / 87066
↖ ↑ ↗
← S 50.781629°
W 22.230835°		 ← 193.11 m → S 50.781629°
W 22.228088°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 50.783365°
W 22.230835°		 ← 193.11 m →
37 291 m²		 S 50.783365°
W 22.228088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438251495361328 y=0.664264678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438251495361328 × 217)
    floor (0.438251495361328 × 131072)
    floor (57442.5)     		tx = 57442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664264678955078 × 217)
    floor (0.664264678955078 × 131072)
    floor (87066.5)     		ty = 87066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57442 / 87066 ti = "17/57442/87066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57442/87066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57442 ÷ 217
    57442 ÷ 131072     		x = 0.438247680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87066 ÷ 217
    87066 ÷ 131072     		y = 0.664260864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438247680664062 × 2 - 1) × π
    -0.123504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38800127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664260864257812 × 2 - 1) × π
    -0.328521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03208144881981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38800127} λ = -0.38800127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03208144881981))-π/2
    2×atan(0.356264641669809)-π/2
    2×0.342244854030243-π/2
    0.684489708060486-1.57079632675     		φ = -0.88630662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38800127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88630662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.781629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57442 KachelY 87066 -0.38800127 -0.88630662 -22.230835 -50.781629
    Oben rechts KachelX + 1 57443 KachelY 87066 -0.38795333 -0.88630662 -22.228088 -50.781629
    Unten links KachelX 57442 KachelY + 1 87067 -0.38800127 -0.88633693 -22.230835 -50.783365
    Unten rechts KachelX + 1 57443 KachelY + 1 87067 -0.38795333 -0.88633693 -22.228088 -50.783365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88630662--0.88633693) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88630662--0.88633693) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38800127--0.38795333) × cos(-0.88630662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632277748382146 × 6371000     		do = 193.113899185248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38800127--0.38795333) × cos(-0.88633693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632254265667908 × 6371000     		du = 193.106726959874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88630662)-sin(-0.88633693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632277748382146-0.632254265667908)×R²
    abs(-0.38795333--0.38800127)×2.34827142380212e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34827142380212e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34827142380212e-05×40589641000000     		ar = 37290.5689399027m²