Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57441 / 87067
↖ ↑ ↗
← S 50.783365°
W 22.233581°		 ← 193.07 m → S 50.783365°
W 22.230835°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 50.785102°
W 22.233581°		 ← 193.06 m →
37 281 m²		 S 50.785102°
W 22.230835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438243865966797 y=0.664272308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438243865966797 × 217)
    floor (0.438243865966797 × 131072)
    floor (57441.5)     		tx = 57441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664272308349609 × 217)
    floor (0.664272308349609 × 131072)
    floor (87067.5)     		ty = 87067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57441 / 87067 ti = "17/57441/87067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57441/87067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57441 ÷ 217
    57441 ÷ 131072     		x = 0.438240051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87067 ÷ 217
    87067 ÷ 131072     		y = 0.664268493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438240051269531 × 2 - 1) × π
    -0.123519897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38804920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664268493652344 × 2 - 1) × π
    -0.328536987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03212938571943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38804920} λ = -0.38804920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03212938571943))-π/2
    2×atan(0.356247563856775)-π/2
    2×0.342229699594154-π/2
    0.684459399188308-1.57079632675     		φ = -0.88633693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38804920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.233581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88633693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.783365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57441 KachelY 87067 -0.38804920 -0.88633693 -22.233581 -50.783365
    Oben rechts KachelX + 1 57442 KachelY 87067 -0.38800127 -0.88633693 -22.230835 -50.783365
    Unten links KachelX 57441 KachelY + 1 87068 -0.38804920 -0.88636724 -22.233581 -50.785102
    Unten rechts KachelX + 1 57442 KachelY + 1 87068 -0.38800127 -0.88636724 -22.230835 -50.785102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88633693--0.88636724) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88633693--0.88636724) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38804920--0.38800127) × cos(-0.88633693) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632254265667908 × 6371000     		do = 193.066446040406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38804920--0.38800127) × cos(-0.88636724) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632230782372821 × 6371000     		du = 193.059275133747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88633693)-sin(-0.88636724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632254265667908-0.632230782372821)×R²
    abs(-0.38800127--0.38804920)×2.34832950875008e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34832950875008e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34832950875008e-05×40589641000000     		ar = 37281.4056270139m²