Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57439 / 87023
↖ ↑ ↗
← S 50.706895°
W 22.239075°		 ← 193.42 m → S 50.706895°
W 22.236328°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.708634°
W 22.239075°		 ← 193.42 m →
37 412 m²		 S 50.708634°
W 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438228607177734 y=0.663936614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438228607177734 × 217)
    floor (0.438228607177734 × 131072)
    floor (57439.5)     		tx = 57439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663936614990234 × 217)
    floor (0.663936614990234 × 131072)
    floor (87023.5)     		ty = 87023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57439 / 87023 ti = "17/57439/87023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57439/87023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57439 ÷ 217
    57439 ÷ 131072     		x = 0.438224792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87023 ÷ 217
    87023 ÷ 131072     		y = 0.663932800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438224792480469 × 2 - 1) × π
    -0.123550415039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38814508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663932800292969 × 2 - 1) × π
    -0.327865600585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03002016213615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38814508} λ = -0.38814508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03002016213615))-π/2
    2×atan(0.356999762618766)-π/2
    2×0.342897027308435-π/2
    0.685794054616871-1.57079632675     		φ = -0.88500227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38814508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.239075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88500227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.706895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57439 KachelY 87023 -0.38814508 -0.88500227 -22.239075 -50.706895
    Oben rechts KachelX + 1 57440 KachelY 87023 -0.38809714 -0.88500227 -22.236328 -50.706895
    Unten links KachelX 57439 KachelY + 1 87024 -0.38814508 -0.88503263 -22.239075 -50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 57440 KachelY + 1 87024 -0.38809714 -0.88503263 -22.236328 -50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88500227--0.88503263) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88500227--0.88503263) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38814508--0.38809714) × cos(-0.88500227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633287744699763 × 6371000     		do = 193.422378057729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38814508--0.38809714) × cos(-0.88503263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 193.415201654049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88500227)-sin(-0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633287744699763-0.633264248305253)×R²
    abs(-0.38809714--0.38814508)×2.34963945101585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34963945101585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34963945101585e-05×40589641000000     		ar = 37411.7509077496m²