Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57438 / 87110
↖ ↑ ↗
← S 50.857976°
W 22.241821°		 ← 192.76 m → S 50.857976°
W 22.239075°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
S 50.859710°
W 22.241821°		 ← 192.75 m →
37 160 m²		 S 50.859710°
W 22.239075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438220977783203 y=0.664600372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438220977783203 × 217)
    floor (0.438220977783203 × 131072)
    floor (57438.5)     		tx = 57438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664600372314453 × 217)
    floor (0.664600372314453 × 131072)
    floor (87110.5)     		ty = 87110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57438 / 87110 ti = "17/57438/87110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57438/87110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57438 ÷ 217
    57438 ÷ 131072     		x = 0.438217163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87110 ÷ 217
    87110 ÷ 131072     		y = 0.664596557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438217163085938 × 2 - 1) × π
    -0.123565673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38819301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664596557617188 × 2 - 1) × π
    -0.329193115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03419067240309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38819301} λ = -0.38819301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03419067240309))-π/2
    2×atan(0.355513991808197)-π/2
    2×0.341578591177131-π/2
    0.683157182354263-1.57079632675     		φ = -0.88763914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38819301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.241821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88763914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.857976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57438 KachelY 87110 -0.38819301 -0.88763914 -22.241821 -50.857976
    Oben rechts KachelX + 1 57439 KachelY 87110 -0.38814508 -0.88763914 -22.239075 -50.857976
    Unten links KachelX 57438 KachelY + 1 87111 -0.38819301 -0.88766940 -22.241821 -50.859710
    Unten rechts KachelX + 1 57439 KachelY + 1 87111 -0.38814508 -0.88766940 -22.239075 -50.859710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88763914--0.88766940) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dl = 192.78646000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88763914--0.88766940) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dr = 192.78646000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38819301--0.38814508) × cos(-0.88763914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631244828411879 × 6371000     		do = 192.758202230971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38819301--0.38814508) × cos(-0.88766940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631221358962244 × 6371000     		du = 192.751035552187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88763914)-sin(-0.88766940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631244828411879-0.631221358962244)×R²
    abs(-0.38814508--0.38819301)×2.34694496353827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34694496353827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34694496353827e-05×40589641000000     		ar = 37160.4806275548m²