Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57436 / 87164
↖ ↑ ↗
← S 50.951506°
W 22.247315°		 ← 192.41 m → S 50.951506°
W 22.244568°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
S 50.953236°
W 22.247315°		 ← 192.40 m →
37 020 m²		 S 50.953236°
W 22.244568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438205718994141 y=0.665012359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438205718994141 × 217)
    floor (0.438205718994141 × 131072)
    floor (57436.5)     		tx = 57436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665012359619141 × 217)
    floor (0.665012359619141 × 131072)
    floor (87164.5)     		ty = 87164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57436 / 87164 ti = "17/57436/87164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57436/87164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57436 ÷ 217
    57436 ÷ 131072     		x = 0.438201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87164 ÷ 217
    87164 ÷ 131072     		y = 0.665008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.12359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38828889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.33001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03677926498257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38828889} λ = -0.38828889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03677926498257))-π/2
    2×atan(0.354594901016124)-π/2
    2×0.340762393307452-π/2
    0.681524786614905-1.57079632675     		φ = -0.88927154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38828889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.247315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88927154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.951506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57436 KachelY 87164 -0.38828889 -0.88927154 -22.247315 -50.951506
    Oben rechts KachelX + 1 57437 KachelY 87164 -0.38824095 -0.88927154 -22.244568 -50.951506
    Unten links KachelX 57436 KachelY + 1 87165 -0.38828889 -0.88930174 -22.247315 -50.953236
    Unten rechts KachelX + 1 57437 KachelY + 1 87165 -0.38824095 -0.88930174 -22.244568 -50.953236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88927154--0.88930174) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88927154--0.88930174) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38828889--0.38824095) × cos(-0.88927154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629977925208848 × 6371000     		do = 192.411473990674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38828889--0.38824095) × cos(-0.88930174) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629954471207764 × 6371000     		du = 192.404310535037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88927154)-sin(-0.88930174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629977925208848-0.629954471207764)×R²
    abs(-0.38824095--0.38828889)×2.34540010840556e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34540010840556e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34540010840556e-05×40589641000000     		ar = 37020.0865871956m²