Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57436 / 87012
↖ ↑ ↗
← S 50.687758°
W 22.247315°		 ← 193.50 m → S 50.687758°
W 22.244568°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
S 50.689498°
W 22.247315°		 ← 193.49 m →
37 439 m²		 S 50.689498°
W 22.244568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438205718994141 y=0.663852691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438205718994141 × 217)
    floor (0.438205718994141 × 131072)
    floor (57436.5)     		tx = 57436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663852691650391 × 217)
    floor (0.663852691650391 × 131072)
    floor (87012.5)     		ty = 87012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57436 / 87012 ti = "17/57436/87012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57436/87012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57436 ÷ 217
    57436 ÷ 131072     		x = 0.438201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87012 ÷ 217
    87012 ÷ 131072     		y = 0.663848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.12359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38828889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.32769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02949285624033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38828889} λ = -0.38828889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02949285624033))-π/2
    2×atan(0.357188060339288)-π/2
    2×0.343064029559367-π/2
    0.686128059118734-1.57079632675     		φ = -0.88466827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38828889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.247315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88466827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.687758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57436 KachelY 87012 -0.38828889 -0.88466827 -22.247315 -50.687758
    Oben rechts KachelX + 1 57437 KachelY 87012 -0.38824095 -0.88466827 -22.244568 -50.687758
    Unten links KachelX 57436 KachelY + 1 87013 -0.38828889 -0.88469864 -22.247315 -50.689498
    Unten rechts KachelX + 1 57437 KachelY + 1 87013 -0.38824095 -0.88469864 -22.244568 -50.689498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88466827--0.88469864) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88466827--0.88469864) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38828889--0.38824095) × cos(-0.88466827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633546197457282 × 6371000     		do = 193.501316182674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38828889--0.38824095) × cos(-0.88469864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633522699748411 × 6371000     		du = 193.494139377554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88466827)-sin(-0.88469864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633546197457282-0.633522699748411)×R²
    abs(-0.38824095--0.38828889)×2.34977088701127e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34977088701127e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34977088701127e-05×40589641000000     		ar = 37439.3471021484m²