Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57435 / 87013
↖ ↑ ↗
← S 50.689498°
W 22.250061°		 ← 193.45 m → S 50.689498°
W 22.247315°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
S 50.691238°
W 22.250061°		 ← 193.45 m →
37 430 m²		 S 50.691238°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438198089599609 y=0.663860321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438198089599609 × 217)
    floor (0.438198089599609 × 131072)
    floor (57435.5)     		tx = 57435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663860321044922 × 217)
    floor (0.663860321044922 × 131072)
    floor (87013.5)     		ty = 87013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57435 / 87013 ti = "17/57435/87013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57435/87013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57435 ÷ 217
    57435 ÷ 131072     		x = 0.438194274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87013 ÷ 217
    87013 ÷ 131072     		y = 0.663856506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438194274902344 × 2 - 1) × π
    -0.123611450195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38833682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663856506347656 × 2 - 1) × π
    -0.327713012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02954079313995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38833682} λ = -0.38833682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02954079313995))-π/2
    2×atan(0.357170938261487)-π/2
    2×0.343048844720687-π/2
    0.686097689441375-1.57079632675     		φ = -0.88469864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38833682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.250061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88469864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.689498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57435 KachelY 87013 -0.38833682 -0.88469864 -22.250061 -50.689498
    Oben rechts KachelX + 1 57436 KachelY 87013 -0.38828889 -0.88469864 -22.247315 -50.689498
    Unten links KachelX 57435 KachelY + 1 87014 -0.38833682 -0.88472901 -22.250061 -50.691238
    Unten rechts KachelX + 1 57436 KachelY + 1 87014 -0.38828889 -0.88472901 -22.247315 -50.691238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88469864--0.88472901) × R
    3.03700000000573e-05 × 6371000     		dl = 193.487270000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88469864--0.88472901) × R
    3.03700000000573e-05 × 6371000     		dr = 193.487270000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38833682--0.38828889) × cos(-0.88469864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633522699748411 × 6371000     		do = 193.453777646374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38833682--0.38828889) × cos(-0.88472901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63349920145522 × 6371000     		du = 193.446602159863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88469864)-sin(-0.88472901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633522699748411-0.63349920145522)×R²
    abs(-0.38828889--0.38833682)×2.34982931915928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34982931915928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34982931915928e-05×40589641000000     		ar = 37430.1491283779m²