Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57434 / 87014
↖ ↑ ↗
← S 50.691238°
W 22.252808°		 ← 193.49 m → S 50.691238°
W 22.250061°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.692978°
W 22.252808°		 ← 193.48 m →
37 424 m²		 S 50.692978°
W 22.250061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438190460205078 y=0.663867950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438190460205078 × 217)
    floor (0.438190460205078 × 131072)
    floor (57434.5)     		tx = 57434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663867950439453 × 217)
    floor (0.663867950439453 × 131072)
    floor (87014.5)     		ty = 87014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57434 / 87014 ti = "17/57434/87014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57434/87014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57434 ÷ 217
    57434 ÷ 131072     		x = 0.438186645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87014 ÷ 217
    87014 ÷ 131072     		y = 0.663864135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438186645507812 × 2 - 1) × π
    -0.123626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38838476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663864135742188 × 2 - 1) × π
    -0.327728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02958873003957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38838476} λ = -0.38838476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02958873003957))-π/2
    2×atan(0.357153817004445)-π/2
    2×0.343033660445202-π/2
    0.686067320890404-1.57079632675     		φ = -0.88472901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38838476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.252808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88472901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.691238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57434 KachelY 87014 -0.38838476 -0.88472901 -22.252808 -50.691238
    Oben rechts KachelX + 1 57435 KachelY 87014 -0.38833682 -0.88472901 -22.250061 -50.691238
    Unten links KachelX 57434 KachelY + 1 87015 -0.38838476 -0.88475937 -22.252808 -50.692978
    Unten rechts KachelX + 1 57435 KachelY + 1 87015 -0.38833682 -0.88475937 -22.250061 -50.692978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88472901--0.88475937) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88472901--0.88475937) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38838476--0.38833682) × cos(-0.88472901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63349920145522 × 6371000     		do = 193.486962393743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38838476--0.38833682) × cos(-0.88475937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633475710315355 × 6371000     		du = 193.479787594966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88472901)-sin(-0.88475937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63349920145522-0.633475710315355)×R²
    abs(-0.38833682--0.38838476)×2.34911398653281e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34911398653281e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34911398653281e-05×40589641000000     		ar = 37424.2431950908m²