Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57432 / 42408
↖ ↑ ↗
← N 53.474970°
W 22.258301°		 ← 181.74 m → N 53.474970°
W 22.255554°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
N 53.473335°
W 22.258301°		 ← 181.75 m →
33 035 m²		 N 53.473335°
W 22.255554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438175201416016 y=0.323551177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438175201416016 × 217)
    floor (0.438175201416016 × 131072)
    floor (57432.5)     		tx = 57432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323551177978516 × 217)
    floor (0.323551177978516 × 131072)
    floor (42408.5)     		ty = 42408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57432 / 42408 ti = "17/57432/42408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57432/42408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57432 ÷ 217
    57432 ÷ 131072     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42408 ÷ 217
    42408 ÷ 131072     		y = 0.32354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32354736328125 × 2 - 1) × π
    0.3529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10868461441266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10868461441266))-π/2
    2×atan(3.03036966706917)-π/2
    2×1.25205531033667-π/2
    2.50411062067335-1.57079632675     		φ = 0.93331429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93331429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.474970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57432 KachelY 42408 -0.38848063 0.93331429 -22.258301 53.474970
    Oben rechts KachelX + 1 57433 KachelY 42408 -0.38843270 0.93331429 -22.255554 53.474970
    Unten links KachelX 57432 KachelY + 1 42409 -0.38848063 0.93328576 -22.258301 53.473335
    Unten rechts KachelX + 1 57433 KachelY + 1 42409 -0.38843270 0.93328576 -22.255554 53.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93331429-0.93328576) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dl = 181.764630000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93331429-0.93328576) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dr = 181.764630000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38843270) × cos(0.93331429) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595173902741245 × 6371000     		do = 181.74351114399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38843270) × cos(0.93328576) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595196829119424 × 6371000     		du = 181.750511989371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93331429)-sin(0.93328576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595173902741245-0.595196829119424)×R²
    abs(-0.38843270--0.38848063)×2.29263781783562e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29263781783562e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29263781783562e-05×40589641000000     		ar = 33035.1783133807m²