Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57431 / 87159
↖ ↑ ↗
← S 50.942854°
W 22.261047°		 ← 192.45 m → S 50.942854°
W 22.258301°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
S 50.944584°
W 22.261047°		 ← 192.44 m →
37 027 m²		 S 50.944584°
W 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438167572021484 y=0.664974212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438167572021484 × 217)
    floor (0.438167572021484 × 131072)
    floor (57431.5)     		tx = 57431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664974212646484 × 217)
    floor (0.664974212646484 × 131072)
    floor (87159.5)     		ty = 87159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57431 / 87159 ti = "17/57431/87159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57431/87159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57431 ÷ 217
    57431 ÷ 131072     		x = 0.438163757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87159 ÷ 217
    87159 ÷ 131072     		y = 0.664970397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438163757324219 × 2 - 1) × π
    -0.123672485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38852857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664970397949219 × 2 - 1) × π
    -0.329940795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03653958048447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38852857} λ = -0.38852857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03653958048447))-π/2
    2×atan(0.354679902103317)-π/2
    2×0.340837898305669-π/2
    0.681675796611339-1.57079632675     		φ = -0.88912053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38852857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.261047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88912053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.942854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57431 KachelY 87159 -0.38852857 -0.88912053 -22.261047 -50.942854
    Oben rechts KachelX + 1 57432 KachelY 87159 -0.38848063 -0.88912053 -22.258301 -50.942854
    Unten links KachelX 57431 KachelY + 1 87160 -0.38852857 -0.88915073 -22.261047 -50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 57432 KachelY + 1 87160 -0.38848063 -0.88915073 -22.258301 -50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88912053--0.88915073) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88912053--0.88915073) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38852857--0.38848063) × cos(-0.88912053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630095194360543 × 6371000     		do = 192.447291008109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38852857--0.38848063) × cos(-0.88915073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 192.440128430031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88912053)-sin(-0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630095194360543-0.630071743232689)×R²
    abs(-0.38848063--0.38852857)×2.34511278546234e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34511278546234e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34511278546234e-05×40589641000000     		ar = 37026.9780162954m²