Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57431 / 29779
↖ ↑ ↗
← N 69.577688°
W 22.261047°		 ← 106.57 m → N 69.577688°
W 22.258301°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.576730°
W 22.261047°		 ← 106.58 m →
11 360 m²		 N 69.576730°
W 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438167572021484 y=0.227199554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438167572021484 × 217)
    floor (0.438167572021484 × 131072)
    floor (57431.5)     		tx = 57431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227199554443359 × 217)
    floor (0.227199554443359 × 131072)
    floor (29779.5)     		ty = 29779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57431 / 29779 ti = "17/57431/29779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57431/29779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57431 ÷ 217
    57431 ÷ 131072     		x = 0.438163757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29779 ÷ 217
    29779 ÷ 131072     		y = 0.227195739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438163757324219 × 2 - 1) × π
    -0.123672485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38852857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227195739746094 × 2 - 1) × π
    0.545608520507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71407971971435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38852857} λ = -0.38852857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71407971971435))-π/2
    2×atan(5.55156416573014)-π/2
    2×1.39257803880855-π/2
    2.78515607761709-1.57079632675     		φ = 1.21435975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38852857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.261047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21435975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.577688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57431 KachelY 29779 -0.38852857 1.21435975 -22.261047 69.577688
    Oben rechts KachelX + 1 57432 KachelY 29779 -0.38848063 1.21435975 -22.258301 69.577688
    Unten links KachelX 57431 KachelY + 1 29780 -0.38852857 1.21434302 -22.261047 69.576730
    Unten rechts KachelX + 1 57432 KachelY + 1 29780 -0.38848063 1.21434302 -22.258301 69.576730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21435975-1.21434302) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21435975-1.21434302) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38852857--0.38848063) × cos(1.21435975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348937007289877 × 6371000     		do = 106.57434366495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38852857--0.38848063) × cos(1.21434302) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348952685696656 × 6371000     		du = 106.579132253942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21435975)-sin(1.21434302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348937007289877-0.348952685696656)×R²
    abs(-0.38848063--0.38852857)×1.56784067783522e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56784067783522e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56784067783522e-05×40589641000000     		ar = 11359.6766510082m²